Radio definido por software

De la antena a los números: I y Q

Una señal de radio es una portadora de frecuencia $f_c$ a la que el transmisor le cambia la amplitud y la fase. El receptor no necesita guardar la portadora, porque toda la información está en esos dos cambios. Por eso el SDR la traslada a 0 Hz y entrega dos números por muestra.

El mezclador en cuadratura obtiene cada componente multiplicando y filtrando el doble de frecuencia:

Notación:

• $s(t)$: señal real que llega por la antena, es decir, la señal de RF.
• $f_c$: frecuencia central, la del oscilador local. En los flowgraphs es center_freq o rf_freq.
• $x(t)$: señal en banda base compleja, lo que entrega el USRP.
• $I(t)$: componente en fase, la parte real de la muestra.
• $Q(t)$: componente en cuadratura, la parte imaginaria.
• $A(t)=\lvert x(t)\rvert$: envolvente instantánea.
• $\varphi(t)=\arg x(t)$: fase instantánea.

Un tono de RF en $f$ aparece en banda base como un fasor que gira a la diferencia con el oscilador local:

Frecuencias negativas

Con $I$ y $Q$ a la vez, el signo de la frecuencia es real y medible: dice si el tono está por encima o por debajo de $f_c$. Si $f_{bb}>0$ el fasor gira en sentido antihorario, y si $f_{bb}<0$, en sentido horario. Con una sola componente esa información se pierde, porque un coseno contiene las dos frecuencias:

Pruébalo en el simulador, caso Frecuencia negativa: mira hacia dónde gira la hélice y compáralo con el lado del pico.

Muestreo complejo y aliasing

Cada muestra compleja aporta dos números, así que con $f_s$ muestras complejas por segundo (samp_rate) se observa un ancho de $f_s$ completo, no de $f_s/2$. El muestreo en general, con sus réplicas de espectro y su reconstrucción, está deducido en el post de Señales.

Dos tonos separados por un múltiplo de $f_s$ producen exactamente las mismas muestras:

Notación:

• $f_s$: tasa de muestreo compleja, en muestras por segundo.
• $n$: índice de la muestra.
• $m$: número entero cualquiera.
• $f_a$: frecuencia a la que se ve el tono dentro de la ventana.

Pruébalo en el simulador, caso Aliasing: lleva el pico más allá del borde de la ventana y observa dónde reaparece.

FFT: resolución y ventanas

Notación:

• $N$: tamaño de la FFT, las muestras de cada bloque.
• $k$: índice del bin; tras fftshift corresponde a $f_k=f_c+k\Delta f$.
• $w[n]$: ventana aplicada al bloque.
• $\Delta f$: separación entre bins.
• $T$: tiempo que hay que observar para llenar un bloque.

$\Delta f\cdot T=1$: más detalle en frecuencia exige observar más tiempo. Además, el cómputo crece como $O(N\log_2 N)$.

Un bloque finito equivale a multiplicar la señal por una ventana, así que un tono que no cae justo en un bin reparte energía en los demás: es la fuga espectral. Una ventana suave baja esos lóbulos laterales a cambio de ensanchar el principal, y por eso dos tonos cercanos pueden dejar de separarse aunque $\Delta f$ sea pequeño.

Valores estándar de la literatura (Harris, 1978).

Pruébalo en el simulador, caso Dos tonos cercanos: cambia N de 512 a 2048 y mira cuándo aparecen dos picos.

dBFS y piso de ruido

El SDR entrega números, no voltios calibrados. En complex float32 la plena escala es $\pm1$ en cada componente, y un tono de amplitud 1 corresponde a 0 dBFS con la normalización siguiente. Sin calibrar la ganancia de la cadena, estos dB no son dBm.

Si el ruido blanco tiene potencia total $\sigma^2$, esa potencia se reparte en los $N$ bins. Un tono, en cambio, se concentra en uno solo. Con esta normalización:

Notación:

• $\mathrm{ENBW}=N\sum w^2/(\sum w)^2$: ancho equivalente de ruido de la ventana, en bins.
• $N_0$: densidad espectral de ruido, en dBFS/Hz.

Ese piso digital viene de fuentes físicas:

• $k$: constante de Boltzmann; $T$: temperatura; $B$: ancho de banda.
• Figura de ruido (NF): lo que suman amplificadores y mezcladores.
• $b$: bits del ADC: unos 50 dB con 8 bits (RTL-SDR) y unos 74 dB con 12 bits (según la hoja de datos del USRP).

Pruébalo en el simulador, caso Piso de ruido: sube N y compara cuánto baja la línea del piso.

Ganancia y saturación del ADC

La ganancia RF amplifica antes del ADC: sube la señal y el ruido que entra con ella, y aleja a la señal del ruido de cuantización. El objetivo es usar bien el rango del ADC sin llegar a plena escala.

Al pasarse, las muestras se recortan en $\pm1$. Las señales de saturación son muestras pegadas a plena escala, picos nuevos que crecen más rápido que la señal y un piso que sube. Una señal potente pero sana, en cambio, conserva su forma y sube dB a dB con la ganancia.

El caso opuesto es igual de común: sin emisoras fuertes en la banda, I y Q quedan muy lejos de $\pm1$ y la señal ocupa unos pocos niveles del ADC. Eso no es un error, pero indica margen para subir la ganancia antes de que el ruido de cuantización pese.

Pruébalo en el simulador, caso Saturación: mira las crestas planas en el tiempo y las espurias en el espectro. Luego baja la ganancia hasta que desaparezcan.

Waterfall: el espectro en el tiempo

El waterfall apila espectros sucesivos: una fila por bloque, frecuencia en horizontal, tiempo en vertical y color según el nivel. Una portadora fija es una línea vertical, una emisora FM es una franja ancha y el ruido es un moteado. Cada fila cubre $T=N/f_s$, así que el compromiso entre detalle en frecuencia y detalle en tiempo también se ve aquí.

Las tres vistas de GNU Radio

En un flowgraph de recepción, USRP Source alimenta tres visores: Time Sink (I y Q en el tiempo),Frequency Sink (el espectro de cada bloque de N muestras) y Waterfall Sink (la historia de ese espectro). Son las mismas tres vistas del simulador.

Las piezas del equipo

Tres capas colaboran: el hardware muestrea, el driver UHD lo programa y transfiere las muestras, y GNU Radio las procesa.

• Throttle: una fuente de software como Signal Source generaría muestras tan rápido como pueda la CPU, así que necesita este bloque para limitar la tasa. USRP Source no lo requiere: el reloj del equipo ya marca el ritmo.
• Overflow (la «O» en consola): el PC no alcanzó a recibir las muestras a tiempo y se perdieron.
• File Sink en fc32: graba I/Q con 8 bytes por muestra.

Especificaciones típicas de hoja de datos. Para saber qué equipo está conectado, con qué interfaz y qué rango admite, uhd_usrp_probe lo informa; un USRP conectado por USB 2 en vez de USB 3 limita la tasa de muestreo sostenible.

Elegir el canal: frecuencia central y filtro

rf_freq programa el oscilador del equipo y decide qué 2 MHz se digitalizan. Dentro de esa banda, el bloque Freq Xlating FIR hace tres cosas: traslada el canal a 0 Hz, filtra y decima. Filtrar antes de decimar es obligatorio, porque lo que quede fuera de la nueva ventana se plegaría dentro.

Notación:

• tune_offset: posición del canal respecto a rf_freq. El canal queda en $\texttt{rf\_freq}+\texttt{tune\_offset}$.
• channel_bw: ancho del filtro. Decide cuánto ruido y cuántos vecinos entran al demodulador.
• $h[i]$: los taps del FIR, diseñado con ventana de Hamming. Menos transición exige más taps: 241 con 200 kHz y 4015 con 12 kHz a 2 MS/s.
• $D$: factor de decimación. A $f_s=2$ MS/s, $D=5$ y chan_rate = 400 kS/s.

Pruébalo en el simulador, caso FM cerca del umbral: activa el pico de DC, lleva el centro del filtro a 0 Hz y luego aleja rf_freq: se mueve todo menos el canal elegido.

AM: el mensaje está en el radio

Notación:

• $A_c$: amplitud de la portadora.
• $\mu$: índice de modulación; $m(t)$ es el mensaje, con pico 1.
• Complex to Mag: calcula $\lvert x\rvert$. Es el detector de envolvente.
• DC Blocker: quita el valor medio $A_c$, que no es mensaje.
• am_gain: una portadora débil da una envolvente muy pequeña, por ejemplo $10^{-3}$, así que hay que amplificarla unos 60 dB. Como la salida AM depende del nivel recibido, un receptor comercial lo resuelve con un AGC lento.

Pruébalo en el simulador, caso AM con μ = 0,5: arrastra el punto ámbar en el panel de tiempo y compara el valor de $\mu$ con las bandas laterales en el panel Canal.

FM: el mensaje está en la velocidad de giro

La definición de FM y su notación están en el post de Señales. Con muestras complejas, demodular es muy simple: la diferencia de fase entre dos muestras seguidas es proporcional a la frecuencia instantánea.

Notación:

• $\Delta f$: desviación con la que transmite la emisora; 75 kHz en radiodifusión.
• fm_dev: la desviación que el receptor cree que hay. Solo escala la salida.
• $G$: factor de Quadrature Demod, calculado con la tasa a su entrada: $400\,000/(2\pi\cdot 75\,000)=0{,}8488$.
• $f_m$: frecuencia máxima del mensaje. La regla de Carson da 180 kHz con 15 kHz de audio mono, y 256 kHz con los 53 kHz del MPX estéreo completo.

El umbral de FM

La CNR es la potencia de la portadora sobre la del ruido dentro del canal. Mientras sea alta, el ruido apenas mueve la fase y el audio mejora dB a dB, según esta fórmula:

• $P_m$: potencia del mensaje, con pico 1; 0,5 para un tono.
• $W$: ancho del audio, 12 kHz; $C/N_0$: potencia de portadora sobre densidad de ruido.

Por debajo de cierta CNR, el ruido llega a dar vueltas completas alrededor del origen. Cada vuelta suma $2\pi$ a la fase y sale como un clic. El audio cae entonces mucho más rápido que la fórmula: es la rodilla. La curva del panel Umbral no es un dibujo: se simula con esta misma cadena, y la rodilla cae entre 9 y 11 dB, cerca de los 10 dB que da la literatura. Una emisora con 6 dB de CNR se oye con clics; con 20 dB, limpia.

La salida del discriminador no es solo audio. Es el MPX: audio mono hasta 15 kHz, piloto a 19 kHz, estéreo L−R alrededor de 38 kHz y RDS a 57 kHz. El LPF de 12 kHz se queda con el mono. La radio comercial también preenfatiza los agudos al transmitir, así que un receptor para escucha necesita de-énfasis. El simulador no lo aplica, para comparar el audio directamente con el mensaje.

Para terminar, un Rational Resampler lleva el audio a la tasa de la tarjeta de sonido. La razón es la fracción reducida de las dos tasas:

Pruébalo en el simulador, caso FM bajo el umbral: abre Audio para ver los clics y Umbral para arrastrar la CNR por la curva.

QPSK: pulsos, ojo y constelación

Notación:

• $s_k$: cada símbolo lleva 2 bits en una de cuatro fases.
• symbol_rate $(R_s)$, sps y qpsk_rate: símbolos por segundo, muestras por símbolo y su producto. No son independientes.
• $\alpha$: roll-off del filtro RRC. Más $\alpha$ ocupa más ancho y da pulsos con colas más cortas.
• rrc_ntaps = $11\cdot\texttt{sps}$: longitud del filtro, 11 símbolos.

Cambiar de fase de golpe ocuparía mucho espectro, así que cada símbolo se conforma con un pulso. El mismo RRC está en TX y en RX: el de RX es el filtro adaptado, que maximiza la SNR. Los dos juntos forman un coseno alzado, que vale cero en los instantes de los demás símbolos. Si se muestrea ahí, no hay interferencia entre símbolos (ISI). El diagrama de ojo superpone esos pulsos: la abertura en el centro es el margen de decisión, y su ancho es la tolerancia a errores de reloj.

El bloque Channel Model agrega las perturbaciones. Su noise_voltage es la desviación total del ruido complejo, y después del filtro adaptado da:

Recuperar el reloj y la portadora

• Symbol Sync busca cuándo decidir. Con el detector de Gardner, la muestra a mitad de símbolo debe ser cero en cada transición; si no, el lazo ajusta el periodo. No depende de la fase de la portadora:$$e_k=\Re\bigl\{x^*_{k-1/2}\,(x_{k-1}-x_k)\bigr\}$$
• Costas Loop corrige fase y frecuencia, después del reloj. De orden 4 en QPSK:
  $$e_k=\operatorname{sgn}(I_k)\,Q_k-\operatorname{sgn}(Q_k)\,I_k$$$$\hat f=\hat\omega\,\frac{R_s}{2\pi}$$
• Slicer (Constellation Decoder): elige el punto más cercano.

Tres firmas en la constelación

El EVM resume en un número la distancia de cada símbolo recibido $r$ a su punto ideal $s$. Pero la forma de la nube dice más que ese número, porque cada causa deja una firma propia:

Las tres firmas vistas en el Constellation Sink de GNU Radio:

Pruébalo en el simulador, caso Firma: temporización (sin Symbol Sync): enciende y apaga Costas y Symbol Sync en la tira de arriba: cada bloque arregla solo lo suyo.

Un receptor, tres modulaciones

Un receptor reconfigurable comparte la adquisición, los controles y la visualización, y cambia de modo sin reiniciar. A cambio, las tasas de todas las ramas deben ser compatibles, y las ramas inactivas no actualizan sus gráficos. Además, no convierte en demodulable una señal mala: sobre una FM, la cadena AM entrega casi nada, y solo el modo correcto recupera el mensaje.

Qué mide la BER

La SNR compara potencias dentro de un ancho de banda, y por eso depende del receptor. $E_b/N_0$ normaliza por la tasa de bit y permite comparar esquemas con tasas distintas. Para BPSK en ruido blanco con filtro adaptado, la probabilidad de error de bit es el área de la cola de una gaussiana:

Notación:

• $P_b$: probabilidad de error de bit. La BER es su estimación por conteo.
• $E_b$: energía por bit de información.
• $N_0$: densidad espectral de ruido. Cada rama recibe una varianza de $N_0/2$.
• $B$: ancho de banda en que se mide la SNR. $R_b$: tasa de bit.
• $Q(x)$: área de la cola derecha de una gaussiana normal. $\mathrm{erfc}$: función de error complementaria.
• AWGN: ruido aditivo, blanco y gaussiano; el modelo de canal de esta curva.
• BPSK: un bit por símbolo, por ejemplo 0 → −1 y 1 → +1. La distancia al umbral es $d=\sqrt{E_b}$.

La cadena de medida en GNU Radio

Una medida de BER arma un transmisor y un receptor completos y compara los bits de los dos extremos:

1. Fuente de bits: Random Source o GLFSR Source.
2. Mapeo y conformación: BPSK y un filtro RRC, por ejemplo con $\alpha=0{,}35$ y $sps=4$.
3. Canal: Channel Model, que suma ruido (Noise Voltage) y puede añadir offset de frecuencia y error de reloj.
4. Receptor: RRC adaptado, Symbol Sync para el instante de muestreo, Costas Loop para fase y frecuencia, y Binary Slicer para decidir.
5. Comparación: se guardan las dos secuencias, se alinean y se cuentan las diferencias.

Del Eb/N0 al Noise Voltage

En GNU Radio no se escribe $E_b/N_0$ sino Noise Voltage, y hay que traducirlo. El bloque Channel Model entiende esa cifra como la desviación estándar total del ruido complejo. Se puede comprobar midiendo su salida con entrada nula y $\sigma=1$: la varianza total da 1 y la de I, 0,5.

Notación:

• $E_s$: energía por símbolo. $M$: puntos de la constelación.
• $sps$: muestras por símbolo, por ejemplo 4.
• $P_s$: potencia de la señal por muestra; vale 1 si el RRC de transmisión tiene ganancia $sps$.
• $\sigma$: Noise Voltage. Cada rama recibe $\sigma^2/2$.
• $f_s$: tasa de muestreo. Por ejemplo, 1 MS/s con $sps=4$ da $R_b=250$ kb/s en BPSK.

Un error muy común es calcular $\sigma$ como si fuera la de una sola rama:

Entra la mitad de la potencia de ruido, y la curva sale 3 dB mejor que la teoría. Es un error difícil de ver, porque el resultado parece bueno: una curva por encima de la teoría casi siempre indica un error de calibración, no un receptor excelente.

Pruébalo en el simulador, caso σ por eje en vez de total (3 dB): la curva se corre a la izquierda y M2M4 mide unos 3 dB de más.

Por qué QPSK Gray rinde igual que BPSK

Un símbolo QPSK son dos BPSK en cuadratura. Con código Gray cada bit se decide en un solo eje, y los ruidos de I y Q son independientes:

QPSK lleva el doble de bits en el mismo ancho de banda porque usa las dos dimensiones ortogonales, no porque gaste más energía por bit. Código Gray significa que dos símbolos vecinos difieren en un solo bit, así que el error más probable cuesta un bit. En 16-QAM los puntos están más cerca a igual $E_b$. La aproximación estándar de vecino más cercano es:

Pruébalo en el simulador, caso QPSK Gray = BPSK: compara la BER de cada rama en el resumen numérico.

Monte Carlo: cuántos bits hacen falta

Una BER medida es una estimación, y su incertidumbre depende de cuántos errores se contaron, no de cuántos bits se enviaron. El número de errores sigue aproximadamente una distribución de Poisson:

Conviene dar cada punto con su intervalo de confianza. El de Wilson al 95 % sigue siendo válido con pocos errores:

Notación:

• $k$: errores contados. $n$: bits comparados. $\hat p=k/n$.
• $z=1{,}96$: cuantil para el 95 %.

Pruébalo en el simulador, caso Pocos bits (Wilson y 1/√k): sube los bits por punto y mira cerrarse las barras.

Alinear antes de contar

Para comparar bit a bit, el receptor debe conocer la secuencia transmitida. Se usa una secuencia pseudoaleatoria (PRBS), que parece ruido y se puede repetir. En GNU Radio la da Random Source con una semilla fija, o un GLFSR Source, que la genera con un registro de desplazamiento realimentado. Como los filtros y lazos retrasan la señal, primero hay que hallar el retardo:

• $\lvert r\rvert$ y no $r$: si el Costas engancha a 180°, el pico es negativo. El máximo sin valor absoluto elegiría un retardo falso. El signo del pico dice si hay que invertir los bits.
• Por FFT: la correlación directa con $10^6$ bits son del orden de $10^{12}$ productos, minutos por punto. Por FFT tarda menos de un segundo.
• Una sola vez: si el retardo se fija al inicio, un deslizamiento posterior deja todos los bits siguientes con BER ≈ 0,5.

Los lazos: el reloj y la portadora

Dos lazos reconstruyen lo que el receptor no conoce. El Symbol Sync busca el instante de muestreo con un detector de error de temporización (TED), y el Costas Loop corrige fase y frecuencia.

Notación:

• $y[k]$: muestra en el instante de decisión. $\hat a[k]$: decisión sobre ese símbolo. $y[k-\tfrac12]$: muestra a mitad de camino.
• M&M (Mueller y Müller) decide sobre la constelación, y por eso necesita la fase resuelta. Gardner no decide: su error no depende de la fase de portadora.
• $z[k]$: símbolo tras corregir la fase $\varphi$. $\omega$: frecuencia estimada, en rad/símbolo.
• $B$: loop bandwidth. $\alpha,\beta$: ganancias que salen de él.

El ancho del lazo es un compromiso: uno estrecho (por ejemplo 0,005) deja pasar poco ruido pero tarda en engancharse; uno ancho (por ejemplo 0,045) reacciona rápido y se lleva el ruido consigo. A $E_b/N_0$ bajo, un lazo ancho produce dos fallas que la curva teórica no contempla:

• Deslizamiento de símbolo: el reloj gana o pierde un símbolo entero. Todo lo que sigue queda desalineado, con BER ≈ 0,5.
• Salto de 180°: el Costas de orden 2 se engancha igual de bien en $\varphi$ y $\varphi+\pi$, y ese tramo llega invertido. En un sistema real se resuelve con codificación diferencial o una secuencia de sincronismo.

Pruébalo en el simulador, caso Lazos anchos (deslizamientos): en el panel Lazos la correlación cae a 0 tras cada deslizamiento.

Offset de frecuencia: enganche contra piso de error

Un offset de frecuencia hace girar la constelación, y el Costas debe alcanzar ese giro antes de poder seguirlo:

Mientras no lo alcanza, la constelación gira y la BER de ese tramo es 0,5. Si esos bits entran en la cuenta, suman un número fijo de errores, y la BER medida depende de la longitud de la corrida:

Notación:

• $N_{\text{eng}}$: bits que dura el enganche.
• $n$: bits contados en total.

Pruébalo en el simulador, caso Offset 3 kHz: ¿piso de error?: mira cómo baja el «piso» mientras entran bits, y luego abre Offset 3 kHz sin el enganche.

Si además el nivel recibido es desconocido, se añade un AGC que lo normaliza antes de los lazos:

Si la entrada tiene nivel $a$, la ganancia se acerca a $1/a$ con una constante de tiempo de $1/(a\mu)$ muestras. Con $a=0{,}01$, por ejemplo, son unas $10^4$ muestras con $\mu=10^{-2}$ y unas $10^6$ con $10^{-4}$. Un AGC lento alarga el arranque que hay que descartar.

Pruébalo en el simulador, caso Offset con Gardner + AGC: en Lazos, la frecuencia del Costas sube a 3 kHz en pocos miles de bits.

M2M4: estimar Eb/N0 sin conocer los bits

En un enlace no se conoce $\sigma$, así que hay que estimar $E_b/N_0$ desde la señal. M2M4 usa solo los momentos de los símbolos tras el sincronismo, sin mirar las decisiones, y por eso no se sesga a SNR baja:

Vale para señales de módulo constante como BPSK y QPSK, no para 16-QAM. En BPSK, $E_b=E_s$. Sirve también para validar una simulación por un camino independiente: si el ruido se calculó como σ por eje, M2M4 mide unos 3 dB más de lo declarado. Mide la SNR efectiva tras el sincronismo: baja con el jitter de los lazos anchos, pero no dice si los bits siguen alineados.

Pérdida de implementación y presupuesto

La pérdida de implementación es cuántos dB más que la teoría necesita un sistema real para la misma BER. Se suma al presupuesto de enlace:

A eso se añade el margen por desvanecimiento o variación del enlace. Las causas de la pérdida son ruido de fase, offset y jitter de los lazos, desbalance I/Q y componente DC, cuantización y recorte, no linealidad del amplificador e ISI residual. Como esas degradaciones no dependen del ruido térmico, a SNR alta pasan a dominar, y la pérdida suele crecer con $E_b/N_0$.

Pruébalo en el simulador, caso Presupuesto: 10⁻⁶ con 2 dB: la banda gris es la pérdida y la línea discontinua marca el Eb/N0 requerido.

FEC: comprar dB con redundancia

Un código corrector añade redundancia controlada. Un convolucional de tasa 1/2 y longitud de restricción 7, con Viterbi por decisión suave, da unos 5 dB de ganancia a BER $10^{-5}$: cada bit de salida depende de los 7 últimos de entrada, y el decodificador elige la secuencia válida más cercana. El costo es duplicar el ancho de banda (o reducir a la mitad la tasa útil) y sumar latencia. Los códigos LDPC y turbo se acercan más al límite de Shannon. El simulador no modela FEC.

Errores típicos

Del bit a la antena

En portadora única cada símbolo es un pulso, y la señal es la suma de esos pulsos. En GNU Radio, el Constellation Modulator hace dos cosas en un solo bloque: asigna los bits a la constelación y filtra con una raíz de coseno alzado (RRC).

Por ejemplo, con una configuración típica:

Notación:

• $s_n$: símbolo de la constelación, 2 bits en QPSK y 4 en 16-QAM.
• $g(t)$: pulso RRC; $T_s=1/R_s$: tiempo de símbolo.
• $\alpha$: factor de roll-off, entre 0 y 1; 0,35 es un valor habitual.
• $sps$: muestras por símbolo.
• DUC: dentro del USRP, interpola hasta la tasa del DAC.
• NCO: oscilador numérico que traslada la señal a $f_c$.
• ACI: interferencia sobre el canal adyacente; lo que se escapa de la banda propia cae en la de otro.
• Máscara: límite regulatorio de lo que se puede emitir fuera de banda. El simulador dibuja un canal de 340 kHz y los adyacentes a ±400 kHz como ejemplo.

Ancho de banda: tres maneras de medirlo

• A −3 dB: donde la potencia cae a la mitad respecto a la meseta. En un coseno alzado es exactamente $R_s$, sin importar $\alpha$.
• A −20 dB: mide las faldas. Es el que importa para no molestar al canal vecino.
• 99 %: ancho que contiene el 99 % de la potencia.

Pruébalo en el simulador, caso QPSK bien escalada: arrastra $\alpha$ en el espectro: hasta α ≈ 0,5 el ancho a −3 dB casi no cambia y las faldas se abren. Con α mayor la meseta desaparece, y el ancho medido respecto a ella crece.

Escala hacia el DAC

El USRP Sink en fc32 tiene un fondo de escala de $\pm1$ por componente. Si I o Q lo superan, la señal se recorta. Lo que define el nivel es una constante $k$ (tx_amp u ofdm_amp), y esa constante depende de cuánta potencia entrega el bloque anterior y de cuánto se alejan sus picos de esa potencia:

Notación:

• $P_x$: potencia media que entrega el bloque anterior.
• $\mathrm{PAPR}$: cuánto supera el pico a la potencia media, en dB. Se explica más abajo.

Pruébalo en el simulador, caso QPSK con amplitud excesiva (se recorta): mira las muestras en rojo y, en Vista 2D, la trayectoria aplastada contra el cuadrado.

OFDM: muchas portadoras lentas

En vez de un símbolo rápido que ocupa todo el canal, OFDM envía muchos símbolos lentos a la vez, cada uno en su subportadora. La IFFT calcula esa suma de una sola vez.

Las subportadoras se traslapan en frecuencia y aun así no se interfieren, porque dentro de una ventana de $N$ muestras son ortogonales:

Notación:

• $X_k$: símbolo de la subportadora $k$.
• $N$: tamaño de la IFFT, por ejemplo 64.
• $\Delta f$: separación entre subportadoras.
• OFDM Carrier Allocator: ubica datos y pilotos en la rejilla. Un reparto típico con $N=64$: 48 de datos, 4 pilotos en $k=\pm7,\pm21$ y 12 vacías.
• Nulo de DC: $k=0$ va vacía, porque ahí se concentran las imperfecciones del oscilador local del equipo.
• Guardas: subportadoras vacías en los bordes, para dejar margen a los filtros y al canal vecino.

Las subportadoras usadas forman una meseta de unos $N_{\text{usadas}}\,\Delta f$. Medido a −3 dB el ancho sale un poco mayor, cerca de $(N_{\text{usadas}}+1)\,\Delta f$, porque la primera y la última subportadora aportan medio lóbulo más hacia afuera.

Pruébalo en el simulador, caso OFDM bien escalada: en la escena, cada sinc del fondo pasa por cero en el centro de las demás. Pasa el puntero por la rejilla para resaltar una.

Prefijo cíclico y multitrayecto

Un eco hace que cada símbolo se derrame sobre el siguiente. El prefijo cíclico (CP) copia el final del símbolo a su inicio y así hace dos cosas: absorbe el derrame y vuelve circular la convolución con el canal dentro de la ventana de la FFT.

Notación:

• $N_{cp}$: muestras del prefijo; $T_{cp}$: su duración.
• $\tau$: retardo del eco.
• $h_\ell$: respuesta al impulso del canal; $H_k$: su DFT, un número complejo por subportadora.
• $W_k$: ruido en la subportadora $k$.
• ISI: interferencia entre símbolos, porque la ventana recoge parte del símbolo anterior.
• ICI: interferencia entre subportadoras, porque ese trozo ajeno no es periódico en la ventana y se pierde la ortogonalidad.

Pruébalo en el simulador, caso Eco mayor que el CP: 60 µs: arrastra el eco y el borde del CP. En el simulador, con Es/N0 de 30 dB y un eco a la mitad de amplitud, el EVM es de unos 6 % hasta 40 µs y de unos 45 % a 60 µs.

Pilotos: estimar el canal

El receptor conoce lo que se transmitió en los pilotos, así que puede despejar el canal en esas subportadoras:

• $Y_k$: lo recibido; $X_k$: el valor conocido del piloto.
• $\hat H_k$: estimación del canal. Entre pilotos se interpola.

En un canal plano y sin ruido la estimación es exacta. Cuando el canal es selectivo, $H_k$ cambia de una subportadora a otra, y unos pocos pilotos separados no alcanzan a seguirlo: entre pilotos la interpolación se equivoca. Por eso muchos sistemas estiman el canal completo con un símbolo de preámbulo conocido y usan los pilotos sobre todo para seguir el error de fase común, símbolo a símbolo.