Una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) es una ecuación que involucra una función desconocida de una sola variable independiente y sus derivadas. Estas ecuaciones representan relaciones entre una función y sus cambios o tasas de cambio, y son fundamentales en el modelado de fenómenos

Clasificación

Orden

La mayor derivada

Grado

El exponente de la mayor derivada

Forma General de una EDO

$$F(x,y,y',y'',…,y^{(n)})=0$$

• $x$ es la variable independiente.
• $y=y(x)$ es la función desconocida o variable dependiente.
• $y',y'', ..., y^{(n)}$ son las derivadas de $y$ respecto a $x$ hasta el 𝑛-ésimo orden.

EDO de primer orden

$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$

$M(x,y)$ y $N(x,y)$ son llamados coeficientes de la EDO, que pueden depender de 𝑥, de 𝑦, o de ambos.

EDO de variables separables

Para resolver una EDO de variables separables:

$$M(x)dx+N(y)dy=0$$$$N(y)dy = -M(x)dx$$$$\int N(y)dy = -\int M(x)dx$$$$n(y)=m(x)$$$$y=n^{-1}(m(x))$$

Convertir una EDO de primer orden a una EDO de variables separables:

Factorización

$$M(x)dx+N(y)dy=0$$

$$\frac{M(x)dx}{N(y)dy}=-1$$$$\frac{dx}{dy}=-\frac{N(y)}{M(x)}$$

$$\frac{dx}{dy}=f(x,y)$$

Se debe verificar que $f(x,y)$ se pueda factorizar $f(x,y)=g(x)h(y)$

Si $f(x,y)$ es factorizable entonces de cumple que:

$$\exists {x_0, y_0} / f(x_0,y_0) \neq 0 \implies f(x_0,y_0)f(x,y)=f(x_0,y)f(x,y_0)$$

Resolviendo:

$$\frac{dx}{dy}=f(x,y)$$$$\frac{dx}{dy}=g(x)h(y)$$$$g(x)^{-1}dx=h(y)dy$$

Funciones homogéneas

$$f(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{k}f(x,y)$$

$f(x,y)$ es una función homogénea de grado $k$

$$\lambda=\frac{1}{x}$$$$f(\frac{x}{x}, \frac{y}{x})=\frac{1}{x}^{k}f(x,y)$$$$f(1, \frac{y}{x})=x^{-k}f(x,y)$$

$$x^{k} f(1, \frac{y}{x})=f(x,y)$$$$y^{k} f( \frac{x}{y},1)=f(x,y)$$
$$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$

Será una EDO de variables separables y a la vez una EDO homogénea, si sus coefiecientes son funciones homogéneas y del mismo grado de homogeneidad

Ecuaciones con coeficientes lineales

$$(\overset{L1:}{\underset{Lineal}{\underbrace{Ax+By+C}}})dx + (\overset{L2:}{\underset{Lineal}{\underbrace{Dx+Ey+F}}})dy =0$$Se debe hacer un traslado al origen la intersección de las rectas con un c.v. y dará como resultado una ecuación homogénea

EDO Exacta

$$dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy=0$$$$\frac{\partial \frac{\partial F}{\partial x}}{\partial y} = \frac{\partial \frac{\partial F}{\partial y}}{\partial x}$$$$dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy=0$$$$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$$$$\frac{\partial F}{\partial x} = M(x,y)$$$$\partial F = M(x,y) \partial x$$$$\int \partial F =\int M(x,y) \partial x$$$$F =\int M(x,y) \partial x$$$$\frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial \int M(x,y) \partial x}{\partial y} = N(x,y)$$

Factor integrante

$$M(x,y) dx + N(x,y) dy=0$$$$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y} \neq \frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$$$$u(x,y)M(x,y) dx + u(x,y)N(x,y) dy=0$$$$\frac{\partial(u(x,y)M(x,y))}{\partial y} = \frac{\partial (u(x,y)N(x,y))}{\partial x}$$

Cómo hallar u(x,y)

$$\frac{\partial(uM)}{\partial y} = \frac{\partial (uN)}{\partial x}$$$$u\frac{\partial M}{\partial y}+M\frac{\partial u}{\partial y} = u \frac{\partial N}{\partial x} + N \frac{\partial u}{\partial x}$$$$u(\frac{\partial M}{\partial y} -\frac{\partial N}{\partial x} ) = N \frac{\partial u}{\partial x} -M\frac{\partial u}{\partial y}$$$$\frac{\partial M}{\partial y} -\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{N \frac{\partial u}{\partial x} -M\frac{\partial u}{\partial y} }{u}$$

Riccati

Es una edo de la forma:

$$\frac{dy}{dx}+ P(x)y = Q(x)$$

que se le multiplica por un factor integrante

$$u = e^{\int P(x) \partial x}$$$$\frac{dy}{dx}+ P(x)y = Q(x)$$

Obteniendo el factor integrante para Ricatti

$$dy+ P(x)ydx = Q(x)dx$$$$dy+ (P(x)y-Q(x))dx =0$$$$M(x,y)= P(x)y-Q(x)$$$$M(x,y)dx+dy = 0$$

Hallamos u:

$$dy+ M(x,y)dx = 0$$$$\frac{\partial (u 1)}{\partial x} = \frac{\partial(uM(x,y))}{\partial y}$$$$\frac{\partial u}{\partial x} = u\frac{\partial(M(x,y))}{\partial y}+M(x,y)\frac{\partial(u)}{\partial y}$$$$\frac{\partial u}{\partial x} -M(x,y)\frac{\partial(u)}{\partial y}= u\frac{\partial(M(x,y))}{\partial y}$$$$\frac{\frac{\partial u}{\partial x} -M(x,y)\frac{\partial(u)}{\partial y}}{u} = \frac{\partial(M(x,y))}{\partial y}$$$$\frac{\frac{\partial u}{\partial x} -M(x,y)\frac{\partial(u)}{\partial y}}{u} \equiv \frac{\partial(M(x,y))}{\partial y} \ \ \ \ = \ \ \ \ \frac{\partial(P(x)y-Q(x))}{\partial y} \equiv P(x)$$

Entonces u depende solamente de x:

$$\frac{\frac{\partial u}{\partial x} - \cancel{M(x,y)\frac{\partial(u) }{\partial y}}}{u} \equiv \frac{\frac{\partial u}{\partial x} }{u} \equiv \frac{\partial \ln (|u|)}{\partial x} \ \ \ = \ \ \ P(x)$$$$\int \partial \ln (|u|) \equiv \ln (|u|) \ \ \ = \ \ \ \int P(x) \partial x$$$$u = e^{\int P(x) \partial x}$$

$$u(\frac{dy}{dx}+ P(x)y) = u Q(x)$$$$e^{\int P(x) \partial x} \frac{dy}{dx}+ e^{\int P(x) \partial x} P(x)y = e^{\int P(x) \partial x} Q(x)$$$$e^{\int P(x) \partial x} \frac{dy}{dx}+\frac{d e^{\int P(x) \partial x}}{dx}y = e^{\int P(x) \partial x} Q(x)$$$$\frac{d (y e^{\int P(x) \partial x})}{dx} = e^{\int P(x) \partial x} Q(x)$$$$\int d(y e^{\int P(x) \partial x}) =\int e^{\int P(x) \partial x} Q(x) dx$$$$y e^{\int P(x) \partial x} =\int e^{\int P(x) \partial x} Q(x) dx$$$$y =\frac{\int e^{\int P(x) \partial x} Q(x) dx}{e^{\int P(x) \partial x}}$$

Bernoulli

$$\frac{dy}{dx}+ P(x)y = Q(x)y^n$$$$y^{-n} \frac{dy}{dx}+ P(x)y^{1-n} = Q(x)$$$$v=y^{1-n}$$$$\frac{dv}{dx}=(1-n)y^{-n} \frac{dy}{dx}$$$$\frac{1}{1-n} \frac{dv}{dx}=y^{-n} \frac{dy}{dx}$$$$\frac{1}{1-n} \frac{dv}{dx}+ P(x)v = Q(x)$$

Llegado aquí se resuelve por Riccati

EDO de orden superior

EDO lineal de orden superior

Es una EDO de grado 1, tal que cumple la linealidad

$$f(x)=y=a_n (x) \frac{d^n y}{dx^n}+a_{n-1} (x) \frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + ... + a_1 (x) \frac{dy}{dx}+a_0(x)y$$$$g(x)=y= \sin(x) \frac{d^3 y}{dx^3} + 3 \frac{d^2 y}{dx^2}+e^x \frac{d y}{dx} + xy$$$$g(x)=y= \sin(x)y''' + 3 y''+e^x y' + xy$$$$g(x)=y= \sin(x)D^3[y] + 3 yD^2[y]+e^xD[y] + xy$$

Igual que una transformación lineal, por lo que satisface las propiedades de:

• Aditividad
$$D[y_1+y_2]=D[y_1]+D[y_2]$$
• Homogeneidad
$$D[ky]=kD[y]$$

EDO lineal Homogénea

Reducción de orden

$$y''+p(x)y'+q(x)y=0$$

• Solución conocida: $y_1(x)$
• Solución a hallar: $y_2(x)=v(x)y_1(x)$

$$y_2(x)=y_1(x) \int \frac{e^{\int p(x)dx}}{y_1 ^2} dx$$

EDO lineal no Homogénea

$$EDOl = x^{3}+\sin(ax)+e^{bx}+0$$ $$y_1 = Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D$$ $$y_2 = A_1 \sin(ax) + B_1 \cos(bx)$$ $$y_3 = A_2 e^{ax}$$ $$y_h = \text{Solución homogénea}$$ $$EDOl(y_1) = x^{3}$$ $$EDOl(y_2) = \sin(ax)$$ $$EDOl(y_3) =e^{bx}$$ $$EDOl(y_h) = 0$$ $$EDOl(y_1+y_2+y_3+y_h) = x^{3}+\sin(ax)+e^{bx}+0$$

Coeficientes indeterminados

aaa

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de una función $\displaystyle f(t)$ definida para todos los números reales $t\geq 0$, es la función $\displaystyle F(s)$ definida por:

$$F(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$$

siempre y cuando la integral esté definida.

Cuando $\displaystyle f(t)$ es una distribución con una singularidad en $0$ entonces la transformada de Laplace se define como:

$$F(s)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$$

$$f(t)$$	$$\mathcal{L} \{ f(t) \}$$
$$1$$	$$\frac{1}{s}$$
$$t^n \ , \ n \in \mathbb{N}$$	$$\frac{n!}{s^{n+1}}$$
$$e^{at}$$	$$\frac{1}{s-a}$$
$$\sin(at)$$	$$\frac{a}{s^2+a^2}$$
$$\cos(at)$$	$$\frac{s}{s^2+a^2}$$
$$\delta(t)$$	$$1$$
$$u(t-a)$$	$$\frac{e^{-as}}{s}$$
$$\sinh(at)$$	$$\frac{a}{s^2-a^2}$$
$$\cosh(at)$$	$$\frac{s}{s^2-a^2}$$

$$\mathcal{L} \{ 1 \}= \int _{0}^{\infty }e^{-st}\,dt$$ $$\mathcal{L} \{ 1 \}= \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_0^\infty=\lim_{t \to \infty} \frac{e^{-st}}{-s} - \frac{e^{-s \cdot 0}}{-s}=0+\frac{1}{s}$$ $$\mathcal{L} \{ 1 \}= \frac{1}{s}$$

$$\mathcal{L} \{ \sin(at) \}= \int _{0}^{\infty }e^{-st}\sin(at)\,dt$$ $$\mathcal{L} \{ 1 \}= \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_0^\infty=\lim_{t \to \infty} \frac{e^{-st}}{-s} - \frac{e^{-s \cdot 0}}{-s}=0+\frac{1}{s}$$ $$\mathcal{L} \{ 1 \}= \frac{1}{s}$$

$$\mathcal{L} \{ \sin(ax) \}$$