SuperNotes by yuri.rodrix

Notas de YuriRod

Página tipo blog en el que voy a publicar mis notas de aprendizaje, en especial de temas como matemáticas, física y quizá algo de programación

Redes neuronales
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Transformada Z

La transformada Z relaciona senales discretas en el dominio temporal con funciones complejas, permitiendo analizar estabilidad, respuesta frecuencial y ecuaciones en diferencias mediante herramientas algebraicas.

Definicion y existencia

Z{x[n]}=X(z)=∑n=−∞∞x[n]z−n\mathcal{Z}\{x[n]\}=X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}X(z)=x[0]+x[1]z−1+x[2]z−2+⋯X(z)=x[0]+x[1] z^{-1}+x[2] z^{-2}+\cdots

La serie converge en una region del plano complejo denominada region de convergencia (ROC). Para la transformada unilateral, la suma inicia en n=0n = 0, lo cual es util cuando la senal es causal.

ROC={z∈C:∑n=−∞∞∣x[n]∣∣z∣−n<∞}\text{ROC} = \{ z \in \mathbb{C} : \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]| |z|^{-n} < \infty \}

El contorno de integracion debe evitar polos para garantizar convergencia.

Transformada inversa

Recuperamos la secuencia x[n]x[n] mediante la integral de contorno que rodea la ROC. En la practica, recurrimos a tablas y descomposiciones en fracciones parciales.

x[n]=12πi∮ΓX(z)zn−1dzx[n]=\frac{1}{2\pi i} \oint_{\Gamma} X(z) z^{n-1} dz

Propiedades fundamentales

Linealidad

Z{ax[n]+by[n]}=aX(z)+bY(z)\mathcal{Z}\{a x[n] + b y[n]\}=a X(z)+b Y(z)

Suma ponderada en el tiempo corresponde a suma ponderada en z.

Desplazamiento

Z{x[n−n0]}=z−n0X(z)\mathcal{Z}\{x[n-n_0]\}=z^{-n_0} X(z)

Retrasar la senal agrega factor de potencias negativas de z.

Escalamiento

Z{anx[n]}=X(za)\mathcal{Z}\{a^n x[n]\}=X\left(\frac{z}{a}\right)

Multiplicar por exponencial discreta equivale a reescalar el dominio.

Diferencias

Z{x[n]−x[n−1]}=(1−z−1)X(z)\mathcal{Z}\{x[n]-x[n-1]\}=(1-z^{-1}) X(z)

Las diferencias finitas se convierten en polinomios en z−1z^{-1}.

Convolucion

Z{x[n]∗h[n]}=X(z)H(z)\mathcal{Z}\{x[n] * h[n]\}=X(z) H(z)

La convolucion discreta se traduce en un producto simple.

Tabla basica

Z{u[n]}=11−z−1,  ∣z∣>1\mathcal{Z}\{u[n]\}=\frac{1}{1-z^{-1}}, \; |z|>1Z{anu[n]}=11−az−1,  ∣z∣>∣a∣\mathcal{Z}\{a^{n} u[n]\}=\frac{1}{1-a z^{-1}}, \; |z|>|a|Z{nu[n]}=z−1(1−z−1)2\mathcal{Z}\{n u[n]\}=\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1})^{2}}
Z{sin⁡(ωn)u[n]}=z−1sin⁡ω1−2z−1cos⁡ω+z−2\mathcal{Z}\{\sin(\omega n) u[n]\}=\frac{z^{-1} \sin \omega}{1-2 z^{-1} \cos \omega+z^{-2}}Z{cos⁡(ωn)u[n]}=1−z−1cos⁡ω1−2z−1cos⁡ω+z−2\mathcal{Z}\{\cos(\omega n) u[n]\}=\frac{1-z^{-1} \cos \omega}{1-2 z^{-1} \cos \omega+z^{-2}}Z{δ[n−n0]}=z−n0\mathcal{Z}\{\delta[n-n_0]\}=z^{-n_0}

Las condiciones sobre ∣z∣|z| definen la ROC asociada a cada transformada.

Ecuaciones en diferencias

Apliquemos la transformada unilateral a una ecuacion lineal con entradas causales:

y[n]−34y[n−1]+18y[n−2]=x[n]y[n]-\frac{3}{4} y[n-1]+\frac{1}{8} y[n-2]=x[n]y[−1]=0,  y[−2]=0y[-1]=0,\; y[-2]=0

Tomando transformada Z (unilateral) obtenemos

Y(z)−34z−1Y(z)+18z−2Y(z)=X(z)Y(z) - \frac{3}{4} z^{-1} Y(z) + \frac{1}{8} z^{-2} Y(z) = X(z)Y(z)=11−34z−1+18z−2X(z)Y(z) = \frac{1}{1 - \frac{3}{4} z^{-1} + \frac{1}{8} z^{-2}} X(z)H(z)=Y(z)X(z)=11−34z−1+18z−2H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 - \frac{3}{4} z^{-1} + \frac{1}{8} z^{-2}}

Factorizamos el denominador para obtener polos, verificamos que queden dentro de la ROC y aplicamos fracciones parciales para recuperar la respuesta impulsional.

Teoremas de valor inicial y final

Valor inicial

x[0]=lim⁡z→∞X(z)x[0]=\lim_{z \to \infty} X(z)

Requiere que la ROC incluya el infinito.

Valor final

lim⁡n→∞x[n]=lim⁡z→1(1−z−1)X(z)\lim_{n \to \infty} x[n]=\lim_{z \to 1} (1-z^{-1}) X(z)

Valido si los polos de (1−z−1)X(z)(1-z^{-1}) X(z) estan dentro del circulo unitario excepto un polo simple en z=1z = 1.

Integrando complejo en 3D

Visualiza el integrando f(t)e−stf(t)e^{-s t} con un entorno tridimensional interactivo que conecta el eje temporal con las componentes real e imaginaria.

Visualizador interactivo

Ajusta la funcion de entrada y manipula el vector complejo

Z=y+j zZ = y + j\, z
con la flecha para explorar la forma de
f(t)Z−tf(t)Z^{-t}
en un espacio tridimensional donde
x=tx = t
,
y=ℜy = \Re
y
z=ℑz = \Im
.

Eje X:

tt

Eje Y:

ℜ\Re

Eje Z:

ℑ\Im

Z≈1.00+0.00i≈1.0000ei2π0Z ≈ 1.00 + 0.00 i ≈ 1.0000 e^{i 2 \pi 0}

Z−1≈1.00+0.00iZ^{-1} ≈ 1.00 + 0.00 i