SuperNotes by yuri.rodrix

Notas de YuriRod

Página tipo blog en el que voy a publicar mis notas de aprendizaje, en especial de temas como matemáticas, física y quizá algo de programación

Redes neuronales
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Transformada de Laplace

La transformada de Laplace permite estudiar funciones en el dominio del tiempo reemplazando integrales y ecuaciones diferenciales por problemas algebraicos en el dominio de ss.

Definicion y existencia

L{f(t)}=F(s)=∫0∞f(t)e−st dt\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_0^{\infty} f(t) e^{-st} \, dt

La integral converge para valores de ss tales que la funcion f(t)e−stf(t) e^{-st} sea absolutamente integrable. Una condicion suficiente es que f(t)f(t) sea de orden exponencial, es decir, exista MM y aa con∣f(t)∣≤Meat|f(t)| \leq M e^{a t} para t≥0t \geq 0.

Si f(t) es de orden exponencial a, entonces F(s) existe para ℜ(s)>a.\text{Si } f(t) \text{ es de orden exponencial } a, \text{ entonces } F(s) \text{ existe para } \Re(s) > a.

Transformada inversa

La transformada inversa recupera f(t)f(t) a partir de su imagen F(s)F(s). De forma formal se define como:

L−1{F(s)}=f(t)=12πi∫γ−i∞γ+i∞F(s)est ds\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=f(t)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} F(s) e^{st} \, ds

A nivel practico recurrimos a tablas y propiedades para obtener la transformada inversa sin evaluar la integral compleja.

Propiedades fundamentales

Linealidad

L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)\mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a F(s)+b G(s)

La transformada conserva combinaciones lineales.

Traslacion en el tiempo

L{u(t−a)f(t−a)}=e−asF(s)\mathcal{L}\{u(t-a) f(t-a)\}=e^{-as} F(s)

Desplazar una funcion en el tiempo introduce un factor exponencial en el dominio de ss.

Traslacion en el dominio

L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\}=F(s-a)

Multiplicar por eate^{at} desplaza el espectro.

Derivacion

L{f(n)(t)}=snF(s)−sn−1f(0)−⋯−f(n−1)(0)\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\}=s^n F(s)-s^{n-1} f(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)

Las condiciones iniciales aparecen como terminos independientes en la imagen.

Integracion

L{∫0tf(τ) dτ}=1sF(s)\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau) \, d\tau\right\}=\frac{1}{s} F(s)

Integrar en el tiempo corresponde a dividir por ss.

Convolucion

L{(f∗g)(t)}=F(s)G(s)\mathcal{L}\{(f * g)(t)\}=F(s) G(s)

La convolucion temporal se convierte en un producto simple.

Tabla basica de transformadas

L{1}=1s\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s}L{t}=1s2\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^2}L{tn}=n!sn+1\mathcal{L}\{t^n\}=\frac{n!}{s^{n+1}}
L{eat}=1s−a\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}L{sin⁡(ωt)}=ωs2+ω2\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\}=\frac{\omega}{s^2+\omega^2}L{cos⁡(ωt)}=ss2+ω2\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\frac{s}{s^2+\omega^2}

Estas identidades sirven como base para descomponer funciones mas complejas mediante fracciones parciales o convolucion.

Resolucion de ecuaciones diferenciales

La transformada de Laplace convierte ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes en ecuaciones algebraicas. Consideremos:

y′′−3y′+2y=e2t,y(0)=1,  y′(0)=0y''-3y'+2y = e^{2t}, \quad y(0)=1, \; y'(0)=0

Al aplicar L{⋅}\mathcal{L}\{\cdot\} y usar la propiedad de derivacion obtenemos una ecuacion para Y(s)Y(s). Despejamos, factorizamos y finalmente aplicamos la transformada inversa usando fracciones parciales para recuperar y(t)y(t).

Y(s)=s−1(s−1)(s−2)+1(s−1)(s−2)Y(s)=\frac{s-1}{(s-1)(s-2)}+\frac{1}{(s-1)(s-2)}Y(s)=1s−2−1s−1+1(s−1)(s−2)Y(s)=\frac{1}{s-2}-\frac{1}{s-1}+\frac{1}{(s-1)(s-2)}y(t)=e2t−et+∫0te(t−τ)e2τ dτy(t)=e^{2t}-e^{t}+\int_0^t e^{(t-\tau)} e^{2\tau} \, d\tau

La ultima integral puede resolverse como convolucion, cerrando el procedimiento de resolucion.

Teoremas de valor inicial y final

Valor inicial

lim⁡t→0+f(t)=lim⁡s→∞sF(s)\lim_{t \to 0^+} f(t)=\lim_{s \to \infty} s F(s)

Verifica la consistencia con valores iniciales en problemas de estado.

Valor final

lim⁡t→∞f(t)=lim⁡s→0sF(s)\lim_{t \to \infty} f(t)=\lim_{s \to 0} s F(s)

Requiere que los polos de sF(s)sF(s) se encuentren en el semiplano izquierdo para garantizar convergencia.