SuperNotes by yuri.rodrix

Notas de Yuri.Rodrix

Página tipo blog en el que voy a publicar mis notas de aprendizaje, en especial de temas como matemáticas, física y quizá algo de programación

Redes neuronales
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Ecuaciones de Maxwell

Llegamos al penúltimo escalón de la serie. En el post de cálculo multivariable construiste el operador ∇ y sus tres caras —gradiente, divergencia y rotacional— y verificaste a mano los teoremas que conectan lo que pasa en el borde con lo que pasa dentro. Aquí esos operadores dejan de ser un ejercicio: aplicados a dos campos, el eléctrico E\mathbf E y el magnético B\mathbf B, son las cuatro ecuaciones de Maxwell, todo el electromagnetismo en cuatro renglones. Y al discretizarlas en el tiempo —con la misma diferencia finita de tu primer post— sale, casi de regalo, el motor del simulador de antenas. Como apoyo tienes Física III y Magnetostática, donde estas leyes aparecen una por una.

∮∂SE⋅dl=−dΦBdt⏟integral (lo que mides en el lab)  ⟺  ∇×E=−∂B∂t⏟diferencial (los operadores de M3)  ⟺  H n+12=H n−12−Δtμ ∇×E⏟discretizada (lo que corre en la GPU)\underbrace{\oint_{\partial S}\mathbf E\cdot d\mathbf l=-\frac{d\Phi_B}{dt}}_{\text{integral (lo que mides en el lab)}}\;\Longleftrightarrow\;\underbrace{\nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}}_{\text{diferencial (los operadores de M3)}}\;\Longleftrightarrow\;\underbrace{\mathbf H^{\,n+\frac12}=\mathbf H^{\,n-\frac12}-\tfrac{\Delta t}{\mu}\,\nabla\times\mathbf E}_{\text{discretizada (lo que corre en la GPU)}}

La idea unificadora del post. Cada ley de Maxwell tiene tres caras que dicen lo mismo: la integral (la que mediste en el laboratorio de física, con flujos y circulaciones), la diferencial (la de los operadores ∇ que acabas de manipular) y la discretizada (la que corre paso a paso en la GPU del simulador). Arriba está la ley de Faraday en sus tres caras; abajo haremos lo mismo con las cuatro. La antena no es magia: es la tercera columna.

Los actores: campos y fuentes

Antes de leer las leyes conviene tener claros sus personajes. Dos son campos —una flecha en cada punto del espacio— y ya los conoces: el eléctrico E\mathbf E y el magnético B\mathbf B. Los que suelen verse extraños son las fuentes (quién crea esos campos) y un par de gemelos que aparecen al meter materia.

Fuentes: ρ y J

ρ=dqdV[Cm3]\rho=\frac{dq}{dV}\quad\left[\tfrac{\text{C}}{\text{m}^3}\right]

ρ\rho es la densidad de carga: cuántos coulombs hay por unidad de volumen. Una carga puntual es ρ\rho concentrada en un punto; es la fuente que pusiste a mano en el laboratorio de Gauss.

J=ρ v[Am2],I=∬SJ⋅dA\mathbf J=\rho\,\mathbf v\quad\left[\tfrac{\text{A}}{\text{m}^2}\right],\qquad I=\iint_S\mathbf J\cdot d\mathbf A

J\mathbf J es la densidad de corriente: carga en movimiento, amperios que cruzan por unidad de área. Es literalmente ρ\rho por la velocidad de las cargas, y la corriente total por una superficie es su integral de flujo I=∬SJ⋅dAI=\iint_S\mathbf J\cdot d\mathbf A —la misma de M3, ahora de carga que fluye.

Campo y materia: B/H, D/E

D=ε E,B=μ H→vacioH=Bμ0,  D=ε0E\mathbf D=\varepsilon\,\mathbf E,\qquad \mathbf B=\mu\,\mathbf H\qquad\xrightarrow{\text{vacio}}\qquad \mathbf H=\frac{\mathbf B}{\mu_0},\ \ \mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E

¿Por qué dos campos magnéticos? B\mathbf B es el campo total; H\mathbf H es el que ponen solo las corrientes libres, sin contar la respuesta del material. En el vacío son el mismo campo reescalado: H=B/μ0\mathbf H=\mathbf B/\mu_0. Lo mismo con D\mathbf D y E\mathbf E en lo eléctrico.

Esos ε\varepsilon y μ\mu miden cuánto responde el material, y son exactamente los que aparecen en el leapfrog (Δt/ε\Delta t/\varepsilon, Δt/μ\Delta t/\mu): le dicen al simulador de qué está hecho el espacio. Un dieléctrico de antena (εr\varepsilon_r) o una ferrita (μr\mu_r) cambian esos números. Para profundizar: Física III y Magnetostática.

Con esto, las leyes ya no tienen símbolos sueltos: E\mathbf E y B\mathbf B son los campos, ρ\rho y J\mathbf J las fuentes, ε\varepsilon y μ\mu el material. Vamos a ellas.

Las cuatro leyes de un vistazo

En su forma diferencial —la que usaremos casi siempre— las cuatro ecuaciones son solo el operador ∇ actuando sobre E\mathbf E y B\mathbf B: dos divergencias (¿brotan?) y dos rotacionales (¿giran?).

Gauss eléctrico

∇⋅E=ρε0\nabla\cdot\mathbf E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}

La divergencia de E\mathbf E es la carga: las cargas son las fuentes del campo eléctrico.

Gauss magnético

∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf B=0

La divergencia de B\mathbf B es cero: no existen monopolos, las líneas magnéticas no nacen ni mueren.

Faraday

∇×E=−∂B∂t\nabla\times\mathbf E=-\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}

Un B\mathbf B que cambia en el tiempo enrolla un E\mathbf E a su alrededor (rotacional).

Ampère-Maxwell

∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}

Una corriente —o un E\mathbf E que cambia— enrolla un B\mathbf B a su alrededor.

Fíjate en la simetría: div, div, rot, rot. Los dos rotacionales son los que se acoplan y, como veremos, producen la onda.

Gauss: las fuentes del campo

La ley de Gauss eléctrica dice que el flujo de E\mathbf E a través de una superficie cerrada mide la carga encerrada. Es, palabra por palabra, el teorema de la divergencia que verificaste arrastrando una caja:

Forma integral (el flujo)

∯∂VE⋅dA=Qencε0\oiint_{\partial V}\mathbf E\cdot d\mathbf A=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}

Forma diferencial (la fuente local)

∇⋅E=ρε0\nabla\cdot\mathbf E=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}

Pasar de una a la otra es el teorema de la divergencia: el flujo por el borde igual a la integral de la divergencia dentro. Aquella cajita del post anterior, cuyo «flujo / área» convergía a ∇⋅F\nabla\cdot\mathbf F, era ya la ley de Gauss esperando una carga. Ponle cargas y compruébalo: arrastra las cargas + y −, mueve y agranda la superficie gaussiana, y mira cómo el flujo medido por su borde sigue exactamente a la carga que encierra —sin importar la forma ni el tamaño:

clic en una carga para alternar + / − / apagada
radio de la gaussiana2.2

El flujo cuenta la carga encerrada

∮∂SE⋅n^ dl⏟integral numeˊrica= 0=Qencε0⏟= 0\underbrace{\oint_{\partial S}\mathbf E\cdot\hat n\,dl}_{\text{integral numérica}=\,0}=\underbrace{\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}}_{=\,0}

Dentro de la superficie hay 2 cargas (suma Qenc=0Q_{\text{enc}}=0). El flujo medido por el borde lo iguala — siempre, en unidades del simulador con ε0=1\varepsilon_0=1.

Arrastra y redimensiona la superficie violeta: mientras no cruces una carga, el flujo no cambia aunque cambie la forma o el tamaño — solo importa qué encierra. Deforma un dipolo dentro: el flujo se anula (lo que sale de la + entra a la −). Es la versión integral de ∇⋅E=ρ/ε0\nabla\cdot\mathbf E=\rho/\varepsilon_0: cada carga es una fuente (el disco rojo del laboratorio de divergencia), y sumar las fuentes encerradas = el flujo por el borde — el mismo teorema de la divergencia que enlosaste en el post anterior.

La lección de fondo: el flujo no ve la geometría de la superficie, solo cuánta fuente atrapa. Si encierras un dipolo completo el flujo se anula, porque lo que brota de la carga positiva entra en la negativa —es ∇⋅E=ρ/ε0\nabla\cdot\mathbf E=\rho/\varepsilon_0 integrada sobre la región. Para el campo magnético esa misma cuenta da siempre cero:

∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf B=0

∇⋅B=0\nabla\cdot\mathbf B=0 —el flujo neto por cualquier superficie cerrada es nulo, porque no existen cargas magnéticas de donde broten las líneas. En el laboratorio de arriba sería como no poder colocar nunca una carga aislada: todo lo que entra, sale. Las líneas de B\mathbf B no tienen principio ni fin, siempre se cierran sobre sí mismas.

Faraday y Ampère: el acople que crea la onda

Las dos leyes interesantes son las de rotacional, porque cada una pone a un campo a depender del cambio temporal del otro. La de Faraday ya la enunciamos: un campo magnético variable induce un campo eléctrico que lo rodea.

Faraday — integral

∮∂SE⋅dl=−dΦBdt\oint_{\partial S}\mathbf E\cdot d\mathbf l=-\dfrac{d\Phi_B}{dt}

La circulación de E\mathbf E por una espira = menos la tasa de cambio del flujo magnético que atraviesa.

Faraday — diferencial

∇×E=−∂B∂t\nabla\times\mathbf E=-\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}

Mismo enunciado, ahora local: el rotacional de E\mathbf E en un punto = menos la derivada temporal de B\mathbf B ahí.

La de Ampère-Maxwell es la recíproca, con el aporte genial de Maxwell: además de la corriente real J\mathbf J, un campo eléctrico que cambia en el tiempo también enrolla un campo magnético. Ese término μ0ε0 ∂E/∂t\mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf E/\partial t es la corriente de desplazamiento:

Ampère-Maxwell — integral

∮∂SB⋅dl=μ0Ienc+μ0ε0dΦEdt\oint_{\partial S}\mathbf B\cdot d\mathbf l=\mu_0 I_{\text{enc}}+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{d\Phi_E}{dt}

Ampère-Maxwell — diferencial

∇×B=μ0J+μ0ε0∂E∂t\nabla\times\mathbf B=\mu_0\mathbf J+\mu_0\varepsilon_0\dfrac{\partial\mathbf E}{\partial t}

Sin ese término de Maxwell las ecuaciones serían inconsistentes y no existiría la luz. Con él, Faraday y Ampère quedan entrelazadas: un E\mathbf E cambiante crea B\mathbf B, que al cambiar crea E\mathbf E, que al cambiar crea B\mathbf B… y eso, soltado en el espacio, se propaga.

De Maxwell a la ecuación de onda

Tomemos el rotacional de Faraday y metamos dentro a Ampère (en el vacío, sin cargas ni corrientes). Usando la identidad vectorial ∇×(∇×E)=∇(∇⋅E)−∇2E\nabla\times(\nabla\times\mathbf E)=\nabla(\nabla\cdot\mathbf E)-\nabla^2\mathbf E y que ∇⋅E=0\nabla\cdot\mathbf E=0 en el vacío, las dos ecuaciones acopladas colapsan en una sola:

∇2E=μ0ε0 ∂2E∂t2⇒c=1μ0ε0≈3×108 ms\nabla^2\mathbf E=\mu_0\varepsilon_0\,\dfrac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}\qquad\Rightarrow\qquad c=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\approx 3\times10^8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}

Es la ecuación de onda: la misma que rige una cuerda o el sonido, pero para E\mathbf E (y otra idéntica para B\mathbf B). Su velocidad sale escrita en las constantes del vacío: c=1/μ0ε0c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}. Al calcularla, Maxwell obtuvo 3×1083\times10^8 m/s —la velocidad de la luz— y dedujo que la luz es una onda electromagnética. Toda la radio, la óptica y las antenas viven en esa igualdad.

Ondas planas: E ⟂ B ⟂ k

La solución más simple de la ecuación de onda es la onda plana: E\mathbf E y B\mathbf B oscilan en fase, perpendiculares entre sí y a la dirección de avance k\mathbf k.

E=E0 y^cos⁡(kx−ωt),B=E0c z^cos⁡(kx−ωt)\mathbf E=E_0\,\hat{\mathbf y}\cos(kx-\omega t),\qquad \mathbf B=\dfrac{E_0}{c}\,\hat{\mathbf z}\cos(kx-\omega t)

Manipúlala en 3D. El campo eléctrico (rojo) oscila en un plano, el magnético (azul) en el plano perpendicular, y toda la estructura avanza en k (verde). Sube la frecuencia y verás la onda comprimirse sin cambiar su velocidad; cambia a polarización circular y el vector E\mathbf E girará formando una hélice.

E ⟂ B ⟂ k
escena 3D (desplázate aquí)
amplitud E0E_01.1
frecuencia ff0.6
c=fλ  ⇒  λ=cf=2.16c=f\lambda\;\Rightarrow\;\lambda=\frac{c}{f}=2.16

Sube la frecuencia y mira: la onda se comprime (la longitud de onda λ\lambda baja), pero la velocidad cc no cambia — siempre fλ=cf\lambda=c. E y B oscilan en fase, perpendiculares entre sí y a la dirección de avance k. En polarización circular, el vector E\mathbf E gira describiendo una hélice en lugar de un plano.

El cociente E/B es una constante del vacío

En la onda, las amplitudes de los dos campos no son independientes: su razón es la impedancia del vacío, fija como cc.

η0=EH=μ0ε0≈377 Ω\eta_0=\dfrac{E}{H}=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0}}\approx 377\ \Omega

Esos 377 Ω377\ \Omega son los que una antena debe «acoplar» para entregar su energía al espacio sin reflejarla — el problema central del diseño de antenas.

Puente a antenas: las dos caras discretas

Aquí se cierra el círculo de la serie. Toma las dos leyes de rotacional —Faraday y Ampère— y reemplaza cada derivada temporal por una diferencia finita, y cada ∇×\nabla\times por su versión discreta sobre la malla. Lo que obtienes es un par de actualizaciones que se alternan en el tiempo — el leapfrog:

Faraday discretizada → actualiza H

H n+12=H n−12−Δtμ (∇×E) n\mathbf H^{\,n+\frac12}=\mathbf H^{\,n-\frac12}-\dfrac{\Delta t}{\mu}\,\big(\nabla\times\mathbf E\big)^{\,n}

Ampère discretizada → actualiza E

E n+1=E n+Δtε (∇×H) n+12\mathbf E^{\,n+1}=\mathbf E^{\,n}+\dfrac{\Delta t}{\varepsilon}\,\big(\nabla\times\mathbf H\big)^{\,n+\frac12}

Primero H\mathbf H avanza medio paso usando el rotacional de E\mathbf E; luego E\mathbf E avanza medio paso usando el rotacional de H\mathbf H; y así, brincando uno sobre otro, la onda se propaga sola por la malla. Ese ∇×\nabla\times se calcula exactamente como la sonda del post anterior estimaba (∇×F)z(\nabla\times\mathbf F)_z: un cociente incremental entre celdas vecinas. Nada nuevo bajo el sol — solo Maxwell discretizado en el tiempo.

Ese es el corazón del simulador FDTD de antenas. Si reconociste cada término de estas dos líneas, ya entiendes por qué una antena radia: es la onda plana que acabas de manipular, generada por una fuente y soltada al espacio, resuelta paso a paso en la GPU.